Tabla ce cayley

Tabla de cayley

Una tabla de Cayley, después del 19 del siglo el matemático británico Arthur Cayley, describe la estructura de un grupo finito mediante la organización de todos los productos posibles de todos los elementos del grupo en una mesa cuadrada que recuerda de una suma o tabla de multiplicar. Muchas de las propiedades de un grupo, como si es o no es abeliano, ¿qué elementos son los inversos de los elementos, y el tamaño y contenido del centro del grupo - puede deducirse fácilmente mediante el examen de la tabla de Cayley. Un ejemplo simple de una tabla de Cayley es el uno para el grupo {1, -1} bajo la multiplicación ordinaria:

Estructura y diseño

Debido a que muchas tablas de Cayley describir a grupos que no son abeliano, el producto B con respecto a la operación binaria del grupo no se garantiza que sea igual a la ba para todos los productos A y B en el grupo. Con el fin de evitar confusiones, la convención es que el factor que califica la fila (llamada factor de cerca por Cayley) viene primero, y que el factor de que las etiquetas de la columna (o factor) es la segunda. Por ejemplo, la intersección de la fila uno y la columna b es ab y no ba, como en el ejemplo siguiente:

Cayley originalmente establecido sus tablas para que el elemento de identidad fue la primera, obviando la necesidad de la fila por separado y encabezados de columna aparece en el ejemplo anterior. Por ejemplo, no aparecen en la tabla siguiente

En este ejemplo, el grupo cíclico Z3, a es el elemento de identidad, y por lo tanto aparece en la esquina superior izquierda de la tabla. Es fácil ver, por ejemplo, que b2 = c, y que cb = a. A pesar de ello, los textos más modernos - y este artículo-se incluyen la fila y encabezados de columna para mayor claridad.

http://123algebralineal.blogspot.mx/2012/06/tabla-de-cayley.html

http://www.doredin.mec.es/documentos/00820073008625.pdf

Ejemplo de Espacio, Sub espacio vectorial y axiomas

Espacio Vectorial

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen los siguientes axiomas:

Ley de cerradura Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V

Ley conmutativa u + v = v + u

Ley Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w

Elemento neutro para la suma Existe un elemento 0 en tal u
que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.

Elemento Simétrico o Negativo Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0

Ley de cerradura Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V

Ley Distributiva c (u + v) = cu + cv , para todo
real c y todo elemento u y v en V. V

Ley Distributiva (c+d) u = cu + du
para todo número real c y d, y todo elemento u en V.

Ley asociativa de la multiplicación c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
y todo elemento u en V.

Elemento neutro de la multiplicación 1u =u, para u en V.

Ejemplos:

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)
c(x,y,0) = (cx, cy 0)


Comprobando cada axioma:

·         Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V

(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)

·         (X, y,0) + (x^', y',0^'') = (x^'' ,y^',0) + (x, y, 0)

( x +x , y + y, 0) = (x^' +x, y^'+y, 0)

·         {(X, y,0) + (x^', y',0^'')} + (x₂, y₂, 0) = (X, y,0) +{ (x^', y',0^'') + (x₂, y_2, 0)}

(x +x , y + y, 0) + (x₂,y₂,0)= (X, y,0) + (x^'+x₂, y^'+y₂ , 0 )

(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0) =(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0)

·         (X, y,0) + (0,0,0^') = ( x , y, 0)

·         (X, y,0) - (x,y,0^'') = ( 0 ,0, 0)

·         Se cumple el sexto axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V

c(x,y,0) = (cx, cy 0)

·         c{(X, y,0) + (x^', y',0^'')} = c(x,y,0) + c(x',y',0)c( x +x , y + y, 0) = (cx, cy, 0) + (cx' , cy', 0)
(c[x+x'], c[y+y'], 0)= (cx+cx', cy+cy' ,0)

·         (c+d) (x,y,0) = c(x, y, 0) + d(x, y,0){(c+d) x, (c+d)y , 0) = (cx+dx , cy+dy ,0)

·         (cd) (x,y,0) = c( d(x, y,0)){(cd) x, (cd)y , 0) = (cdx , cdy ,0)

·         1(x,y,0) = (x, y, 0)

En conclusión es un espacio vectorial puesto que cumple los 10 axiomas

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como

(X, y,z) + (x^', y',z^'') = ( x +x , y + y, z+z)

c(x,y,z) = (cx, y z)Es fácil comprobar los primeros axiomas puesto que cumplen las propiedades de los números,
Comenzar por el axioma 7

·         c{(X, y,z) + (x^', y',z^'')} = c(x,y,z) + c(x',y',z')c( x +x' , y + y', z+z') = (cx, y, z) + (cx' , y', z')
(c[x+x'], [y+y'], [z+z'[)= (cx+cx', y+y' ,z+z')

·         (c+d) (x,y,z) ≠ c(x, y, z) + d(x, y,z){(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , y+y , z+z)
{(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , 2 y ,2z)
no se cumple este axioma

Sub espacio Vectorial
Sea un espacio vectorial V y W un subconjunto no vacio de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un sub espacio vectorial.

Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura

Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura

Ejemplo

Cuál de los siguientes
subconjuntos de
R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:

(a,b,2)

(a,b,c) donde c= a+b

a (a,b,2) + (a₁,b₁,2) = (a+a, b+b, 2+2)

no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial

b ./ (a b, c) + (a₁,b₁,c) = (a+a₁, b+b₁, c+c₁)

c= a + b y c₁= a₁+b₁

c+ c₁ = (a+a₁)+ (b+b₁)i se cumple

K(a,b,c) = (Ka, Kb, kc)

C= a+b y k c = ka +k b también se cumple.

COMANDOS DE MATLAB

Para declarar una matriz es de la siguiente manera:

Donde los tres primeros valores son una fila y son separados por una coma(,) para indicar que es el valor de una variable en este caso puede ser( x, y, z) y para separar las filas se pone un punto y coma(;).

Comandos del Matlab:

Para realizar suma de matrices, se declaran las matrices en este caso las matrices se nombran con letras mayusculas.

Y asi como podemos realizar esta operacion Matlab resuelve resta, multiplicaciones, divisiones, multiplicasion por escalar, etc y podemos resolver ecuaciones lineales.

Para calcular el rango ocupamos el comando >>rank y etre parantesis el nombre de la matriz.

Para calcular la inversa ocupamos el comando inv y entre parentecis el nombre que identifica a nuestra matriz.

Para convertirlos en fracción ocupamos la palabra formatrational y después el comando.

Para resolver ecuaciones lineales por el método de gauss Jordán, declaramos las matrices en este caso una para los valores de x,y,z y otra para los valores de las ecuaciones, después calculamos la inversa de la primer matriz.

Posteriormente unimos las matrices para formar una sola.

Finalmente la nueva matriz que esta compuesta por las dos matrices declaradas al inicio, la utilizaremos para darle solución a el sistema de ecuaciones utilizando el comando rref() en donde el nombre que identifica nuestra matriz quedara dentro de los paréntesis.

Y de esta manera resolvimos el sintema de ecuasiones lineales, donde el valor de nuestra variables es para x=-2, y=-3 y z=1.

BIOGRAFIA DE GABRIEL CRAMER

GABRIEL CRAMER(31/07/1704 – 4/01/1752)

Nació el 31 de Julio de 1704 en Ginebra (Suiza).

Hijo de Jean Isaac Cramer (médico en Ginebra) y Anne Mallet. Tuvo tres hermanos y los tres tuvieron grandes éxitos académicos.

Acabó muy rápido sus estudios y en 1722, solo con 18 años, se sacó un doctorado defendiendo la tesis , “La teoría del sonido”. Dos años más tarde (1724), se presentó a la cátedra de filosofía en la Académica de Calvin en Ginebra. A ésta se presentaron tres personas (Amédée de la Rive, Giovanni Ludovico Calandrini y le propio Cramer) Ante la valía de los tres decidieron dividir la cátedra en dos, una de filosofía pura y otra de matemáticas. La de filosofía se la dieron a Amadée al ser el mayor y los otros dos tuvieron que compartir (tareas y sueldo) la de matemáticas, con el acuerdo que cada dos años uno impartía las clases y el otro viajaba por Europa completando su formación. Esto le dio a Cramer la oportunidad de viajar y conocer a otros matemáticos. Así Cramer enseñaba geometría y mecánica, mientras que Calandrini enseñó álgebra y astronomía.

Siguiendo las condiciones del acuerdo en 1727 emprendió viaje por toda Europa. Se dirigió inmediatamente a Basilea, donde estuvo cinco meses trabajando con Johann Bernoulli y Euler. Poco después se dirigió a San Petersburgo para estar con Daniel Bernoulli. Luego viajó a Inglaterra donde se reunió Halley, de Moivre y Stirling, y otros matemáticos. Desde Inglaterra dirigió a Leiden, donde se reunió con de Gravesan, a continuación, se trasladó a París, donde mantuvo conversaciones con Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut, y otros.

En 1729, regresó a Ginebra, y pronto presentó un trabajo, “Quelle est la causa de la elliptique figura des planètes et de la mobilité de leurs aphélies”, para el premio establecido por la “Academia de París” de 1730. Obtuvo el segundo premio ya que el primero lo consiguió Johann Bernoulli.

En 1734 los "mellizos" se separaron cuando Calandrini fue designado para la cátedra de filosofía y Cramer se convirtió en el único titular de la Cátedra de Matemáticas.
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Johann Bernoulli muere en 1748, y Cramer se encargó de publicar su Obras Completas, ante la petición (antes de su muerte) de Johann. También publicó ese mismo año su obra más famosa “Introduction à l'analyse des lignes Courbes algébraique”.

El exceso de trabajo provocó (junto a una caída de su coche de caballos) que su salud decayera de forma repentina. Pasó dos meses en la cama de recuperación, y su médico le recomendó que pasara un periodo de calma en el sur de Francia para recuperar completamente su fuerza.

Dejando de Ginebra el 21 de diciembre 1751 comenzó su viaje, pero murió dos semanas más tarde, el 4 de enero de 1752 en Bagnols-sur-Cèze, cerca de Avignon (sur de Francia).

REGLA DE CRAMER: 

Teorema de Rouché-Fröbenius

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

·    r = r' Sistema Compatible.

o  r = r'= n Sistema Compatible Determinado.

o  r = r'≠ n Sistema Compatible Indeterminado.

·    r ≠ r' Sistema Incompatible.

·         Este teorema no nos sirve para resolver sistemas , pero si nos va a indicar si tienen solución o no .

·         " Un sistema es compatible (tiene solución) si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada A * (matriz de los coeficientes + columna de los términos independientes) "

·         El rango de una matriz es el nº de filas (o columnas) distintas de 0 , después de haber utilizado el método de triangulación de Gauss (es el nº de vectores fila o columna independientes ) .

Teorema de Rouché-Fröbenius.

·         Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes.

·         Demostración :

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

operaciones con matrices

BIOGRAFIA DE GAUSS

                          BIOGRAFÍA DE CARL FRIEDRICH GAUSS

Johan Carl Friedrich Gauss nació el 30 de Abril de 1777 en Brunswick (Ducado de Brunswick), que actualmente pertenece a Alemania.

A la edad de 7 años Gauss empezó la escuela elemental donde casi inmediatamente se empezó a descubrir su gran potencial. Su profesor, Büttner, y su asistente, Martin Bartels, se quedaron impresionados cuando Gauss sumó todos los números enteros desde el 1 hasta el 100 en un instante al descubrir que dicha suma consistía en 50 parejas de números en la que cada par suma 101.

En 1788 Gauss empezó su educación en el “Gymnasium” con la ayuda de Büttner y Bartels donde aprendió Alemán Avanzado y latín. Tras recibir una beca del Duque de Brunswick, Gauss entróen el Collegium Carolinum de Brunswick en 1792.

En 1795 Gauss dejó Brunswick para ir a estudiar a la Universidad de Göttingen.  En 1798 dejó Göttingen con un diploma, pero  ya había hecho uno de sus más importantes descubrimientos, la construcción con regla y compás de un polígono regular de 17 lados. Este fue el mayor avance en este campo desde la época de la antigua Grecia y fue publicado en la sección VII del famoso libro de Gauss, “Disquisitiones Arithmeticae”. Las cuales las 6 primeras versaban sobre teoría de números

Gauss volvió a Brunswick donde se licenció en 1799. Después de que el Duque de Brunswick aceptara continuar pagando su beca, éste pidió a Gauss que mandara una disertación doctoral a la Universidad de Helmstedt. Dicha disertación fue un discurso sobre el Teorema Fundamental del Álgebra.

Gauss contaba con una beca por eso  no necesitaba trabajar para mantenerse por lo que podía dedicarse enteramente a la investigación

En junio de 1801, un astrónomo  Zach publicó las posiciones orbitales de Ceres, un pequeño planeta que había sido recientemente descubierto por Piazzi, era  italiano. Piazzi sólo observo 9 grados de la órbita de Ceres antes que éste se ocultara tras el Sol. Zach publicó varias predicciones sobre la posición del planeta, incluyendo una de Gauss que difería bastante de las demás teorías. Cuando Ceres fue redescubierto por  Zach en diciembre de 1801 se encontraba exactamente donde Gauss había predicho. En Junio de 1802 otro  astrónomo, Olbers, propuso que se nombrara a Gauss director del observatorio de Göttingen cosa que finalmente no ocurrió.

Gauss se casó con Johanna Ostoff en Octubre de 1805. Es en esa época cuando su benefactor el Duque de Brunswick es asesinado en la guerra luchando en el ejército prusiano.

 En 1807 finalmente Gauss dejó Brunswick para convertirse en director del  Göttingen. En 1808 su padre muere y un año después su esposa  fallece tras dar a luz a su segundo hijo, quien murió momentos después que su madre. Gauss se casó por segunda vez al año siguiente con Minna, la mejor amiga de Johanna. El trabajo de Gauss nunca pareció verse afectado por su tragedia personal. Publicó su libro sobre teoría de cuerpos celestes en 1809.

En el primer volumen trataba de ecuaciones diferenciales, secciones cónicas y órbitas elípticas, mientras que en el segundo se mostraba cómo estimar la órbita de un planeta y posteriormente refinarla.

Hasta el año 1817 aparte de teorías astronómicas publicó también trabajos sobre tratamientos de series y una aproximación a la función hipergeométrica, un ensayo sobre integración aproximada, discusiones sobre estimadores estadísticos y un último trabajo inspirado en problemas geodésicos.

Desde principios de siglo Gauss estaba muy interesado en la posible existencia de una geometría no euclídea.  En 1816 confesó a un amigo que creía en la existencia de una geometría no euclídea pero que no se atrevía a decirlo en público por miedo a que su reputación se viera  Posteriormente afirmó haber tenido dicha convicción desde que tenía 15 años.

Gauss tenía un interés especial por la geometría diferencial, y llegó a publicar  acerca de este tema. Su libro más importante en este campo fue “Disquisiciones generales sobre superficies curvas” en 1828. En este libro se incluían por primera vez ideas geométricas como la curvatura de Gauss, y también su famoso Teorema Egregio.

En esta  época Gauss recibió una oferta para trabajar en la universidad de Berlín pero él prefirió siempre permanecer en Göttingen. A partir de 1830 Gauss se centra en el campo de la física en el que trabaja colaborando con Weber. Profundiza en las teorías existentes sobre magnetismo terrestre y llega a enunciar en estos trabajos el que posteriormente se conocerá como Principio de Dirichlet. Weber abandona Göttingen en 1837 y a partir de entonces la intensidad en el trabajo de Gauss empieza a decrecer. En esta época también se muestra bastante interesado en los trabajos de otros matemáticos como Einstein y Lobachevsky.

Gauss pasó los años que van desde 1845 a 1851 dedicado a organizar la fundación de la universidad de Göttingen, ocupación que le permitió obtener experiencia en el campo de la matemática financiera que le llevaría posteriormente a hacer una gran fortuna.

Gauss presentó su lectura de jubilación en 1849. A partir de 1850 el trabajo de Gauss fue meramente práctico aunque en ese tiempo dio su aprobación la tesis doctoral de Riemann. Su última experiencia científica fue una discusión sobre el péndulo de Fouccalt modificado en 1854. Gauss murió el 23 de Febrero de 1855.

Hola en esta   primera unidad hemos aprendido:

Sobre los  números complejos  en forma polar realizando operaciones como el Producto, cociente, raíz y también potencias de estos, cada operación con sus respectivos pasos también aprendimos a calcular el modulo y argumento así como la representación en el plano cartesiano ya que cada eje representa una parte de los números complejos también nos ayudo ya que nuestro panorama sea extendido mas a lo que estábamos acostumbrado a manejar  solo con números reales o simples.

El producto es la multiplicación de números complejos  tiene un modulo y un argumento  la formula es la siguiente de forma binomica:

r(cosᶿ+senᶿ)r’(cosᶿ’+isenᶿ’)

Forma polar:

cociente de numeros complejos en la forma polar es la división de números complejos

Potencia de los números complejos esta dada por la formula

Y la raíz de los números complejos esta dada por la formula

Teorema de De Moivre Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = rn(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios. Potencias de números complejos Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...) Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera. Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en (eiθ)n = eiθn           (n = 0, ±1, ±2 ...) Cuando se expresa en la forma (cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ que se le conoce como la fórmula de De Moivre referencias: <a href="http://matematicasuniversitaria.blogspot.com/" target="_blank"><img src="http://img17.imageshack.us/img17/2310/bannermatematicasuniver.gif"/></a> http://docencia.izt.uam.mx/plov/LaboSimu/practicas/complejos2.pdf http://sites.google.com/site/tecalgebralineal/unidad-1-numeros-complejos/1-5-teorema-de-demoiver-potencias-y-extraccion-de-raices-ecuaciones-plolinomicas