Teorema de Rouché-Fröbenius

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.

·    r = r' Sistema Compatible.

o  r = r'= n Sistema Compatible Determinado.

o  r = r'≠ n Sistema Compatible Indeterminado.

·    r ≠ r' Sistema Incompatible.

·         Este teorema no nos sirve para resolver sistemas , pero si nos va a indicar si tienen solución o no .

·         " Un sistema es compatible (tiene solución) si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada A * (matriz de los coeficientes + columna de los términos independientes) "

·         El rango de una matriz es el nº de filas (o columnas) distintas de 0 , después de haber utilizado el método de triangulación de Gauss (es el nº de vectores fila o columna independientes ) .

Teorema de Rouché-Fröbenius.

·         Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes.

·         Demostración :