Ejemplo de Espacio, Sub espacio vectorial y axiomas

Espacio Vectorial

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen los siguientes axiomas:

Ley de cerradura Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V

Ley conmutativa u + v = v + u

Ley Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w

Elemento neutro para la suma Existe un elemento 0 en tal u
que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.

Elemento Simétrico o Negativo Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0

Ley de cerradura Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V

Ley Distributiva c (u + v) = cu + cv , para todo
real c y todo elemento u y v en V. V

Ley Distributiva (c+d) u = cu + du
para todo número real c y d, y todo elemento u en V.

Ley asociativa de la multiplicación c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
y todo elemento u en V.

Elemento neutro de la multiplicación 1u =u, para u en V.

Ejemplos:

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)
c(x,y,0) = (cx, cy 0)


Comprobando cada axioma:

·         Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V

(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)

·         (X, y,0) + (x^', y',0^'') = (x^'' ,y^',0) + (x, y, 0)

( x +x , y + y, 0) = (x^' +x, y^'+y, 0)

·         {(X, y,0) + (x^', y',0^'')} + (x₂, y₂, 0) = (X, y,0) +{ (x^', y',0^'') + (x₂, y_2, 0)}

(x +x , y + y, 0) + (x₂,y₂,0)= (X, y,0) + (x^'+x₂, y^'+y₂ , 0 )

(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0) =(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0)

·         (X, y,0) + (0,0,0^') = ( x , y, 0)

·         (X, y,0) - (x,y,0^'') = ( 0 ,0, 0)

·         Se cumple el sexto axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V

c(x,y,0) = (cx, cy 0)

·         c{(X, y,0) + (x^', y',0^'')} = c(x,y,0) + c(x',y',0)c( x +x , y + y, 0) = (cx, cy, 0) + (cx' , cy', 0)
(c[x+x'], c[y+y'], 0)= (cx+cx', cy+cy' ,0)

·         (c+d) (x,y,0) = c(x, y, 0) + d(x, y,0){(c+d) x, (c+d)y , 0) = (cx+dx , cy+dy ,0)

·         (cd) (x,y,0) = c( d(x, y,0)){(cd) x, (cd)y , 0) = (cdx , cdy ,0)

·         1(x,y,0) = (x, y, 0)

En conclusión es un espacio vectorial puesto que cumple los 10 axiomas

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como

(X, y,z) + (x^', y',z^'') = ( x +x , y + y, z+z)

c(x,y,z) = (cx, y z)Es fácil comprobar los primeros axiomas puesto que cumplen las propiedades de los números,
Comenzar por el axioma 7

·         c{(X, y,z) + (x^', y',z^'')} = c(x,y,z) + c(x',y',z')c( x +x' , y + y', z+z') = (cx, y, z) + (cx' , y', z')
(c[x+x'], [y+y'], [z+z'[)= (cx+cx', y+y' ,z+z')

·         (c+d) (x,y,z) ≠ c(x, y, z) + d(x, y,z){(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , y+y , z+z)
{(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , 2 y ,2z)
no se cumple este axioma

Sub espacio Vectorial
Sea un espacio vectorial V y W un subconjunto no vacio de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un sub espacio vectorial.

Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura

Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura

Ejemplo

Cuál de los siguientes
subconjuntos de
R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:

(a,b,2)

(a,b,c) donde c= a+b

a (a,b,2) + (a₁,b₁,2) = (a+a, b+b, 2+2)

no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial

b ./ (a b, c) + (a₁,b₁,c) = (a+a₁, b+b₁, c+c₁)

c= a + b y c₁= a₁+b₁

c+ c₁ = (a+a₁)+ (b+b₁)i se cumple

K(a,b,c) = (Ka, Kb, kc)

C= a+b y k c = ka +k b también se cumple.