Tabla ce cayley

Tabla de cayley

Una tabla de Cayley, después del 19 del siglo el matemático británico Arthur Cayley, describe la estructura de un grupo finito mediante la organización de todos los productos posibles de todos los elementos del grupo en una mesa cuadrada que recuerda de una suma o tabla de multiplicar. Muchas de las propiedades de un grupo, como si es o no es abeliano, ¿qué elementos son los inversos de los elementos, y el tamaño y contenido del centro del grupo - puede deducirse fácilmente mediante el examen de la tabla de Cayley. Un ejemplo simple de una tabla de Cayley es el uno para el grupo {1, -1} bajo la multiplicación ordinaria:

Estructura y diseño

Debido a que muchas tablas de Cayley describir a grupos que no son abeliano, el producto B con respecto a la operación binaria del grupo no se garantiza que sea igual a la ba para todos los productos A y B en el grupo. Con el fin de evitar confusiones, la convención es que el factor que califica la fila (llamada factor de cerca por Cayley) viene primero, y que el factor de que las etiquetas de la columna (o factor) es la segunda. Por ejemplo, la intersección de la fila uno y la columna b es ab y no ba, como en el ejemplo siguiente:

Cayley originalmente establecido sus tablas para que el elemento de identidad fue la primera, obviando la necesidad de la fila por separado y encabezados de columna aparece en el ejemplo anterior. Por ejemplo, no aparecen en la tabla siguiente

En este ejemplo, el grupo cíclico Z3, a es el elemento de identidad, y por lo tanto aparece en la esquina superior izquierda de la tabla. Es fácil ver, por ejemplo, que b2 = c, y que cb = a. A pesar de ello, los textos más modernos - y este artículo-se incluyen la fila y encabezados de columna para mayor claridad.

http://123algebralineal.blogspot.mx/2012/06/tabla-de-cayley.html

http://www.doredin.mec.es/documentos/00820073008625.pdf

Ejemplo de Espacio, Sub espacio vectorial y axiomas

Espacio Vectorial

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen los siguientes axiomas:

Ley de cerradura Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V

Ley conmutativa u + v = v + u

Ley Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w

Elemento neutro para la suma Existe un elemento 0 en tal u
que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.

Elemento Simétrico o Negativo Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0

Ley de cerradura Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V

Ley Distributiva c (u + v) = cu + cv , para todo
real c y todo elemento u y v en V. V

Ley Distributiva (c+d) u = cu + du
para todo número real c y d, y todo elemento u en V.

Ley asociativa de la multiplicación c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
y todo elemento u en V.

Elemento neutro de la multiplicación 1u =u, para u en V.

Ejemplos:

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)
c(x,y,0) = (cx, cy 0)


Comprobando cada axioma:

·         Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V

(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)

·         (X, y,0) + (x^', y',0^'') = (x^'' ,y^',0) + (x, y, 0)

( x +x , y + y, 0) = (x^' +x, y^'+y, 0)

·         {(X, y,0) + (x^', y',0^'')} + (x₂, y₂, 0) = (X, y,0) +{ (x^', y',0^'') + (x₂, y_2, 0)}

(x +x , y + y, 0) + (x₂,y₂,0)= (X, y,0) + (x^'+x₂, y^'+y₂ , 0 )

(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0) =(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0)

·         (X, y,0) + (0,0,0^') = ( x , y, 0)

·         (X, y,0) - (x,y,0^'') = ( 0 ,0, 0)

·         Se cumple el sexto axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V

c(x,y,0) = (cx, cy 0)

·         c{(X, y,0) + (x^', y',0^'')} = c(x,y,0) + c(x',y',0)c( x +x , y + y, 0) = (cx, cy, 0) + (cx' , cy', 0)
(c[x+x'], c[y+y'], 0)= (cx+cx', cy+cy' ,0)

·         (c+d) (x,y,0) = c(x, y, 0) + d(x, y,0){(c+d) x, (c+d)y , 0) = (cx+dx , cy+dy ,0)

·         (cd) (x,y,0) = c( d(x, y,0)){(cd) x, (cd)y , 0) = (cdx , cdy ,0)

·         1(x,y,0) = (x, y, 0)

En conclusión es un espacio vectorial puesto que cumple los 10 axiomas

Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como

(X, y,z) + (x^', y',z^'') = ( x +x , y + y, z+z)

c(x,y,z) = (cx, y z)Es fácil comprobar los primeros axiomas puesto que cumplen las propiedades de los números,
Comenzar por el axioma 7

·         c{(X, y,z) + (x^', y',z^'')} = c(x,y,z) + c(x',y',z')c( x +x' , y + y', z+z') = (cx, y, z) + (cx' , y', z')
(c[x+x'], [y+y'], [z+z'[)= (cx+cx', y+y' ,z+z')

·         (c+d) (x,y,z) ≠ c(x, y, z) + d(x, y,z){(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , y+y , z+z)
{(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , 2 y ,2z)
no se cumple este axioma

Sub espacio Vectorial
Sea un espacio vectorial V y W un subconjunto no vacio de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un sub espacio vectorial.

Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura

Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura

Ejemplo

Cuál de los siguientes
subconjuntos de
R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:

(a,b,2)

(a,b,c) donde c= a+b

a (a,b,2) + (a₁,b₁,2) = (a+a, b+b, 2+2)

no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial

b ./ (a b, c) + (a₁,b₁,c) = (a+a₁, b+b₁, c+c₁)

c= a + b y c₁= a₁+b₁

c+ c₁ = (a+a₁)+ (b+b₁)i se cumple

K(a,b,c) = (Ka, Kb, kc)

C= a+b y k c = ka +k b también se cumple.